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\lhead{ \Large{COURS MPSI}}\chead{ \LARGE {A9. ESPACES EUCLIDIENS }} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}
\input{tcilatex}

\begin{document}

\date{PCSI}
\author{R. FERR\'{E}OL}

I) PRODUIT SCALAIRE

NOTATIONS :

$E$ $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

Pour une application de $E^{2}$ vers $\mathbb{R}$ ; l'image de $(%
\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ est not\'{e}e $\left( 
\overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) $ ou $\left\langle 
\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\right\rangle ,$ ou parfois simplement $%
\overrightarrow{x}\;\overrightarrow{y}$ s'il n'y a pas d'ambigu\"{\i}t\'{e}
possible.

L'application est alors not\'{e}e $\left( .\;|\;.\right) $ et on note par

$\left( \overrightarrow{x}\;|\;.\right) $ l'application partielle de $E$
dans $\mathbb{R}$ qui \`{a} $\overrightarrow{y}$ fait correspondre $\left( 
\overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) $

$\left( .\;|\;\overrightarrow{y}\right) $ l'application partielle de $E$
dans $\mathbb{R}$ qui \`{a} $\overrightarrow{x}$ fait correspondre $\left( 
\overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) .$

\bigskip

DEF : un produit scalaire sur un espace vectoriel r\'{e}el est une \textit{%
forme} \textit{bilin\'{e}aire sym\'{e}trique d\'{e}finie positive} sur cet
espace.

\bigskip

\qquad FORME : l'ensemble d'arriv\'{e}e est $\mathbb{R}$.

\qquad BILIN\'{E}AIRE : les applications partielles $\left( \overrightarrow{x%
}\;|\;.\right) $ et $\left( .\;|\;\overrightarrow{y}\right) $ sont toutes lin%
\'{e}aires, i.e. 
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{y_{1}},%
\overrightarrow{y_{2}},\overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}},\lambda
\\ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y_{1}}+\lambda 
\overrightarrow{y_{2}}\right) =............................................$
\\ \hline
$\left( \overrightarrow{x_{1}}+\lambda \overrightarrow{x_{2}}\;|\;%
\overrightarrow{y}\right) =............................................$ \\ 
\hline
\end{tabular}%
\end{array}%
\end{equation*}

\bigskip

\qquad SYM\'{E}TRIQUE : $\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}%
\;\;\;\;\;\;\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) =\left( 
\overrightarrow{y}\;|\;\overrightarrow{x}\right) $

\bigskip

\qquad D\'{E}FINIE : $\forall \overrightarrow{x}\;\;\;\;\;\left( 
\overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{x}\right) =0\Rightarrow 
\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$

\bigskip

\qquad POSITIVE : $\forall \overrightarrow{x}\;\;\left( \overrightarrow{x}%
\;|\;\overrightarrow{x}\right) \geqslant 0$

\bigskip

REMARQUE :\textquotedblright\ D\'{E}FINIE POSITIVE\textquotedblright\ SE R%
\'{E}DUIT \`{A} $\forall \overrightarrow{x}\neq \overrightarrow{0}\;\;\left( 
\overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{x}\right) >0.$

Quelques calculs si $\left( .\;|\;.\right) $ est bilin\'{e}aire et sym\'{e}%
trique :

\begin{equation*}
\fbox{$\left( \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\;|\;\overrightarrow{x}+%
\overrightarrow{y}\right) =\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{x}%
\right) +2\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) +\left( 
\overrightarrow{y}\;|\;\overrightarrow{y}\right) $}
\end{equation*}

(en notation simplifi\'{e}e : $\left( \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}%
\right) ^{2}\;=\overrightarrow{x}^{2}+2\overrightarrow{x}\;\overrightarrow{y}%
+\overrightarrow{y}^{2}\;)$

\begin{equation*}
\fbox{$\left( \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\;|\;\overrightarrow{x}-%
\overrightarrow{y}\right) =\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{x}%
\right) -2\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) +\left( 
\overrightarrow{y}\;|\;\overrightarrow{y}\right) $}
\end{equation*}

(en notation simplifi\'{e}e : $\left( \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}%
\right) ^{2}\;=\overrightarrow{x}^{2}-2\overrightarrow{x}\;\overrightarrow{y}%
+\overrightarrow{y}^{2}\;)$

\begin{equation*}
\fbox{$\left( \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\;|\;\overrightarrow{x}+%
\overrightarrow{y}\right) =\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{x}%
\right) -\left( \overrightarrow{y}\;|\;\overrightarrow{y}\right) $}
\end{equation*}

(en notation simplifi\'{e}e : $\left( \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}%
\right) \left( \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right) =\overrightarrow{%
x}^{2}-\overrightarrow{y}^{2}\;)$

\begin{equation*}
\fbox{$\left( \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\alpha _{i}\overrightarrow{%
x_{i}}\;|\;\overset{p}{\underset{j=1}{\sum }}\beta _{j}\overrightarrow{y_{j}}%
\right) =\overset{n}{\underset{_{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n  \\ %
1\leqslant j\leqslant p}}}{\sum }}\alpha _{i}\beta _{j}\left( 
\overrightarrow{x_{i}}\;|\;\overrightarrow{y_{j}}\right) $}
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\fbox{$\left( \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\overrightarrow{x_{i}}\;|\;%
\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\overrightarrow{x_{i}}\right) =\underset{%
i=1}{\overset{n}{\sum }}\left( \overrightarrow{x_{i}}\;|\;\overrightarrow{%
x_{i}}\right) +2\underset{1\leqslant i<j\leqslant n}{\sum }\left( 
\overrightarrow{x_{i}}\;|\;\overrightarrow{x_{j}}\right) $}
\end{equation*}

(en notation simplifi\'{e}e : $\left( \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}%
\overrightarrow{x_{i}}\right) ^{2}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}%
\overrightarrow{x_{i}}^{2}+2\underset{1\leqslant i<j\leqslant n}{\sum }%
\overrightarrow{x_{i}}\;\overrightarrow{x_{j}}\;\;\;)$

D1

DEF : un espace vectoriel r\'{e}el muni d'un produit scalaire est dit 
\textit{pr\'{e}hilbertien} ; si de plus il est de dimension finie, on parle
d'\textit{espace euclidien}.

\bigskip

EXEMPLES : E1

\qquad - produit scalaire usuel dans $\mathbb{R}^{n}:$ $\left( \left(
x_{i}\right) _{i=1..n}~|\;\left( y_{i}\right) _{i=1..n}\right) =\overset{n}{%
\underset{i=1}{\sum }}x_{i}y_{i}$

\qquad - produit scalaire usuel dans $M_{np}\left( \mathbb{R}\right) $ : $%
\left( A~|\;B\right) =\underset{%
\begin{array}{c}
1\leqslant i\leqslant n \\ 
1\leqslant j\leqslant p%
\end{array}%
}{\sum }A\left( i,j\right) B\left( i,j\right) =$trace$\left( ^{t}A.B\right)
; $

\qquad - produit scalaire usuel dans $\mathcal{C}^{0}\left( [a,b],\mathbb{R}%
\right) ,a<b$ : $\left( f~|\;g\right) =\int_{a}^{b}fg$

\bigskip D2

II$)$ IN\'{E}GALIT\'{E} DE CAUCHY-SCHWARZ ET NORME EUCLIDIENNE

\bigskip

\qquad 1) In\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz.

TH : si $\left( .\;|\;.\right) $ est un produit scalaire sur $%
E,\;\;\;\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in E\;\;$%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) ^{2}\leqslant
\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{x}\right) \left( 
\overrightarrow{y}\;|\;\overrightarrow{y}\right) $ \\ \hline
$\text{et }\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right)
^{2}=\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{x}\right) \left( 
\overrightarrow{y}\;|\;\overrightarrow{y}\right) \Leftrightarrow \left( 
\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\right) \text{ li\'{e}e}$ \\ \hline
\end{tabular}
\;
\end{equation*}

D3

APPLICATIONS:

\bigskip

E2

\bigskip

\qquad 2) Norme euclidienne.

DEF : une \textit{norme} sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ est une
application de $E$ dans $\mathbb{R}_{+}$, $\overrightarrow{x}\mapsto
\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert $ v\'{e}rifiant : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1. $\forall \overrightarrow{x}\in E\;\;\;\;\left\Vert \overrightarrow{x}%
\right\Vert =0\Leftrightarrow \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ \\ 
\hline
2. $\forall \overrightarrow{x}\in E\;\forall \lambda \in \mathbb{R\;\;\;}%
\left\Vert \lambda \overrightarrow{x}\right\Vert =\left\vert \lambda
\right\vert \left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert $ \\ \hline
3. $\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in E\;\;\left\Vert 
\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right\Vert \leqslant \left\Vert 
\overrightarrow{x}\right\Vert +\left\Vert \overrightarrow{y}\right\Vert 
\text{(in\'{e}galit\'{e} triangulaire)}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

PROP et DEF : si $\left( .\;|\;.\right) $ est un produit scalaire, on pose $%
\left\| \overrightarrow{x}\right\| =\sqrt{\left( \overrightarrow{x}\;|\;%
\overrightarrow{x}\right) }$ ; $\overrightarrow{x}\mapsto \left\| 
\overrightarrow{x}\right\| $ est alors une norme sur $E$, appel\'{e}e 
\textit{norme euclidienne} associ\'{e}e au produit scalaire $\left(
.\;|\;.\right) .$

PROP : \'{e}galit\'{e} dans l'in\'{e}galit\'{e} triangulaire : 
\begin{equation*}
\left\| \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right\| =\left\| 
\overrightarrow{x}\right\| +\left\| \overrightarrow{y}\right\|
\Leftrightarrow \overrightarrow{x}\text{ et }\overrightarrow{y}\text{ sont
positivement li\'{e}s (}\exists \lambda ,\mu \geqslant 0\;,\left( \lambda
,\mu \right) \neq \left( 0,0\right) \;\;/\;\;\lambda \overrightarrow{x}=\mu 
\overrightarrow{y})
\end{equation*}

\bigskip D4

REM : dor\'{e}navant le carr\'{e} scalaire $\left( \overrightarrow{x}\;|\;%
\overrightarrow{x}\right) $ sera toujours not\'{e} $\left\| \overrightarrow{x%
}\right\| ^{2}.$

\bigskip

Quelques propri\'{e}t\'{e}s avec ces nouvelles notations : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1. $\left\vert \left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right)
\right\vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert \left\Vert 
\overrightarrow{y}\right\Vert \text{ }:\text{in\'{e}galit\'{e} de
Cauchy-Schwarz}$ \\ \hline
2. $\left\Vert \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right\Vert
^{2}\;=\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert 
\overrightarrow{y}\right\Vert ^{2}+2\left( \overrightarrow{x}\;|\;%
\overrightarrow{y}\right) $ \\ \hline
$\text{2 bis. }\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) =%
\dfrac{1}{2}\left( \left\Vert \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}%
\right\Vert ^{2}\;-\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert ^{2}-\left\Vert 
\overrightarrow{y}\right\Vert ^{2}\right) $ : premi\`{e}re identit\'{e} de
polarisation \\ \hline
2 ter : $\left\Vert \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right\Vert
^{2}\;=\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert 
\overrightarrow{y}\right\Vert ^{2}-2\left( \overrightarrow{x}\;|\;%
\overrightarrow{y}\right) :\text{ relation d'Al-Kashi}$ \\ \hline
3 : $\left\Vert \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right\Vert
^{2}+\left\Vert \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right\Vert
^{2}=2\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert ^{2}+2\left\Vert 
\overrightarrow{y}\right\Vert ^{2}\text{ : \'{e}galit\'{e} du parall\'{e}%
logramme}$ \\ \hline
4 : $\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) =\dfrac{1}{4}%
\left( \left\Vert \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right\Vert
^{2}\;-\left\Vert \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right\Vert
^{2}\right) $ : deuxi\`{e}me identit\'{e} de polarisation \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

NOTA : de l'\'{e}galit\'{e} du parall\'{e}logramme, on d\'{e}duit la \textit{%
formule de la m\'{e}diane} dans un triangle $\left( ABC\right) $ de m\'{e}%
diane $\left( AI\right) $ :%
\begin{equation*}
AI^{2}=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{2}-IB^{2}
\end{equation*}

DEF : si $\overrightarrow{x}$ et $\overrightarrow{y}$ sont non nuls, la
mesure de l'\textit{angle non orient\'{e}} $\widehat{\left( \overrightarrow{x%
},\overrightarrow{y}\right) }$ est $\arccos \dfrac{\left( \overrightarrow{x}%
\;|\;\overrightarrow{y}\right) }{\left\Vert \overrightarrow{x}\right\Vert
\left\Vert \overrightarrow{y}\right\Vert }\in \lbrack 0,\pi ],$ de sorte que 
\begin{equation*}
\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) =\left\Vert 
\overrightarrow{x}\right\Vert \left\Vert \overrightarrow{y}\right\Vert \cos 
\widehat{\left( \overrightarrow{x}\;,\;\overrightarrow{y}\right) }
\end{equation*}

EXEMPLE : E3

\bigskip

III) ORTHOGONALIT\'{E}

Dans tout ce paragraphe, on se place dans un espace euclidien $E$ (donc de
dimension finie).

\bigskip 1) Orthogonalit\'{e} de 2 vecteurs.

DEF : deux vecteurs sont dits orthogonaux (pour le produit scalaire consid%
\'{e}r\'{e}) si leur produit scalaire est nul : 
\begin{equation*}
\overrightarrow{x}\perp \overrightarrow{y}\Leftrightarrow \left( 
\overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) =0.
\end{equation*}

THEOR\`{E}ME DE PYTHAGORE : $\overrightarrow{x}\perp \overrightarrow{y}%
\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right\|
^{2}\;=\left\| \overrightarrow{x}\right\| ^{2}+\left\| \overrightarrow{y}%
\right\| ^{2}.$

\bigskip

2) Orthogonal d'un vecteur, d'une partie.

\bigskip

DEF : l'\textit{orthogonal} d'un vecteur est l'ensemble des vecteurs qui lui
sont orthogonaux : 
\begin{equation*}
\overrightarrow{x}^{\perp }=\{\overrightarrow{y}\in E\;/\;\overrightarrow{y}%
\perp \overrightarrow{x}\}
\end{equation*}

l'\textit{orthogonal} d'une partie $X$ de l'espace est l'ensemble des
vecteurs orthogonaux \`{a} \textit{tous} les vecteurs de $X$ : 
\begin{equation*}
X^{\perp }=\{\overrightarrow{y}\in E\;/\;\forall \overrightarrow{x}\in X\;\;%
\overrightarrow{y}\perp \overrightarrow{x}\}=\underset{\overrightarrow{x}\in
X}{\bigcap }\overrightarrow{x}^{\perp }
\end{equation*}

\bigskip REM : $\{\overrightarrow{x}\}^{\perp }=\overrightarrow{x}^{\perp },$
$\{\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\}^{\perp }=\overrightarrow{x}%
^{\perp }\cap \overrightarrow{y}^{\perp }.$

EXEMPLES : E4 $\left\{ \overrightarrow{0}\right\} ^{\perp }=.........,$ $%
E^{\perp }=............$

\bigskip

PROP : $X^{\perp }$ est un sous-espace vectoriel de $E,$ et $\{%
\overrightarrow{x_{1}},...,\overrightarrow{x_{p}}\}^{\perp }=\left( \text{%
Vect}\left( \overrightarrow{x_{1}},...,\overrightarrow{x_{p}}\right) \right)
^{\perp }$

D5

\bigskip

3) Parties (fortement) orthogonales entre elles.

\bigskip

DEF deux parties $X$ et $Y$ de $E$ sont (fortement) orthogonales (entre
elles) si tout vecteur de l'une est orthogonal \`{a} tout vecteur de l'autre
: 
\begin{equation*}
X\perp Y\Leftrightarrow \forall \overrightarrow{x}\in X\;\;\forall 
\overrightarrow{y}\in Y\;\;\;\overrightarrow{x}\perp \overrightarrow{y}
\end{equation*}

\bigskip

PROPRI\'{E}T\'{E}S : $\left\{ 
\begin{array}{l}
X\perp Y\Leftrightarrow X\subset Y^{\perp }\Leftrightarrow Y\subset X^{\perp
} \\ 
X\subset X^{\perp \perp } \\ 
X\subset Y\Rightarrow X^{\perp }\supset Y^{\perp } \\ 
X\perp Y\Rightarrow X\cap Y\subset \{\overrightarrow{0}\}%
\end{array}%
\right. $

D6

PROP : pour qu'une partie $X$ soit orthogonale \`{a} un sous-ev $F,$ il
suffit qu'elle soit orthogonale \`{a} une famille g\'{e}n\'{e}ratrice de $F.$

D7

\bigskip

CORO : si $F=$Vect$\left( \overrightarrow{x_{1}},...,\overrightarrow{x}%
_{p}\right) ,$ $G=$Vect$\left( \overrightarrow{y_{1}},...,\overrightarrow{y}%
_{q}\right) ,$ 
\begin{equation*}
F\perp G\Leftrightarrow \forall i,j\;\;\overrightarrow{x}_{i}\perp 
\overrightarrow{y}_{j}
\end{equation*}

\bigskip

PROP : soient $F_{1},...,F_{p}$ des sous espaces vectoriels de $E$ deux \`{a}
deux orthogonaux ; la somme des $F_{i}$ est alors directe.

D8

\bigskip REM : cette notion d'orthogonalit\'{e} est dite \textit{forte} car
elle ne comprend pas par exemple la notion d'orthogonalit\'{e} de deux plans
en dimension 3 ; on peut d\'{e}finir la notion d'orthogonalit\'{e} \textit{%
faible} de deux sev $F$ et $G$ s'il existe 3 sev deux \`{a} deux (fortement)
orthogonaux $H,F^{\prime },G^{\prime }$ tels que $F=H\oplus F^{\prime }$ et $%
G=H\oplus G^{\prime }.$

4) Familles orthogonales, orthonorm\'{e}es (ou orthonormales).

\bigskip

DEF : une famille de vecteurs est dite \textit{orthogonale} si les vecteurs
sont \textit{non nuls} et orthogonaux deux \`{a} deux, \textit{orthonorm\'{e}%
e} (ou \textit{othonormale}) si de plus les vecteurs sont de norme \'{e}gale 
\`{a} 1 (on dit alors qu'ils sont "norm\'{e}s", ou "unitaires").

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\left( \overrightarrow{x_{1}},...,\overrightarrow{x_{p}}\right) \text{ est
orthogonale }\Leftrightarrow \forall i\;\;\overrightarrow{x_{i}}\neq 
\overrightarrow{0}\text{ et }\forall i\neq j\;\;\overrightarrow{x_{i}}\perp 
\overrightarrow{x_{j}}$ \\ \hline
$\left( \overrightarrow{x_{1}},...,\overrightarrow{x_{p}}\right) \text{ est
orthonorm\'{e}e }\Leftrightarrow \text{ }\forall i\;\;\left\Vert 
\overrightarrow{x_{i}}\right\Vert =1\text{ et }\forall i\neq j\;\;%
\overrightarrow{x_{i}}\perp \overrightarrow{x_{j}}\Leftrightarrow \left( 
\overrightarrow{x_{i}}\;|\;\overrightarrow{x_{j}}\right) =\delta _{ij}\text{
(symbole de Kronecker)}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\ 
\end{equation*}

\bigskip

Exemple : la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ est orthonorm\'{e}e pour le
produit scalaire usuel.

PROP : une famille orthogonale est toujours libre (elle ne peut donc avoir
plus de $n$ \'{e}l\'{e}ments en dimension $n).$

D9

\bigskip

PROP : si $\left( \overrightarrow{x_{1}},...,\overrightarrow{x_{p}}\right) $
est orthogonale, $\left( \pm \dfrac{\overrightarrow{x_{1}}}{\left\Vert 
\overrightarrow{x_{1}}\right\Vert },...,\pm \dfrac{\overrightarrow{x_{p}}}{%
\left\Vert \overrightarrow{x_{p}}\right\Vert }\right) $ est orthonorm\'{e}e.

\bigskip

PROP : si $\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{%
e_{n}}\right) $ est une base orthonorm\'{e}e de $E,$ les coordonn\'{e}es $%
\left( x_{1},...,x_{n}\right) $ de $\overrightarrow{x}$ dans $\mathcal{B}$
sont donn\'{e}es par 
\begin{equation*}
x_{i}=\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{e_{i}}\right)
\end{equation*}

D10

\bigskip

PROP : si $\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{%
e_{n}}\right) $ est une base orthonorm\'{e}e de $E,$ le produit scalaire $%
\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) $ se calcule par la
formule 
\begin{equation*}
\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) =\overset{n}{%
\underset{i=1}{\sum }}x_{i}y_{i}=\;^{t}X\;Y
\end{equation*}

o\`{u} $X=\left[ 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
.. \\ 
x_{n}%
\end{array}
\right] $ et $Y=\left[ 
\begin{array}{c}
y_{1} \\ 
.. \\ 
y_{n}%
\end{array}
\right] $ sont les coordonn\'{e}es de $\overrightarrow{x}$ et $%
\overrightarrow{y}$ dans $\mathcal{B}$.

D11

\bigskip

5) Proc\'{e}d\'{e} d'orthogonalisation de Schmidt.

\bigskip

TH1 (faible) : si $\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,%
\overrightarrow{e_{n}}\right) $ est une base de $E$ euclidien , il existe
une base $\mathcal{C}=\left( \overrightarrow{f_{1}},...,\overrightarrow{f_{n}%
}\right) $ orthogonale telle que 
\begin{equation*}
\forall k\;\in \lbrack |1,n|]\;\;\text{Vect}\left( \overrightarrow{e_{1}}%
,...,\overrightarrow{e_{k}}\right) =\text{Vect}\left( \overrightarrow{f_{1}}%
,...,\overrightarrow{f_{k}}\right)
\end{equation*}

D12

\bigskip

REMARQUE 1 : on a donc pos\'{e} :$\left\{ 
\begin{array}{l}
\overrightarrow{f}_{1}=\overrightarrow{e}_{1} \\ 
\overrightarrow{f}_{2}=\overrightarrow{e}_{2}+\lambda _{21}\overrightarrow{f}%
_{1} \\ 
... \\ 
\overrightarrow{f}_{k}=\overrightarrow{e}_{k}+\lambda _{k1}\overrightarrow{f}%
_{1}+...+\lambda _{k,k-1}\overrightarrow{f}_{k-1} \\ 
... \\ 
\overrightarrow{f}_{n}=\overrightarrow{e}_{n}+\lambda _{n1}\overrightarrow{f}%
_{1}+...+\lambda _{n,n-1}\overrightarrow{f}_{n-1}%
\end{array}
\right. $ avec $\lambda _{k,i}=-\dfrac{\left( \overrightarrow{e}_{k}\;|\;%
\overrightarrow{f}_{i}\right) }{\left\| \overrightarrow{f}_{i}\right\| ^{2}}%
. $

DEF : La base $\left( \overrightarrow{f_{1}},...,\overrightarrow{f_{n}}%
\right) $ est appel\'{e}e \textit{la base orthogonale de Schmidt }associ\'{e}%
e \`{a} $\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right) .$

REMARQUE 2 : $\;$la condition Vect$\left( \overrightarrow{e_{1}},...,%
\overrightarrow{e_{k}}\right) =$Vect$\left( \overrightarrow{f_{1}},...,%
\overrightarrow{f_{k}}\right) $ \'{e}quivaut \`{a} ce que la matrice de
passage de $\mathcal{B}$ \`{a} $\mathcal{C}$ soit triangulaire sup\'{e}%
rieure.

\bigskip

REMARQUE 3 : si l'on pose $\left\{ 
\begin{array}{l}
\overrightarrow{f}_{1}=\overrightarrow{e}_{1} \\ 
\overrightarrow{f}_{2}=\overrightarrow{e}_{2}+\mu _{21}\overrightarrow{e}_{1}
\\ 
... \\ 
\overrightarrow{f}_{k}=\overrightarrow{e}_{k}+\mu _{k1}\overrightarrow{e}%
_{1}+...+\mu _{k,k-1}\overrightarrow{e}_{k-1} \\ 
... \\ 
\overrightarrow{f}_{n}=\overrightarrow{e}_{n}+\mu _{n1}\overrightarrow{e}%
_{1}+...+\mu _{n,n-1}\overrightarrow{e}_{n-1}%
\end{array}
\right. $ les $\mu _{k,i}$ seront obtenus par un syst\`{e}me triangulaire
que l'on devra r\'{e}soudre. Mais c'est parfois plus pratique que la m\'{e}%
thode pr\'{e}c\'{e}dente.

\bigskip

REMARQUE 4 : $\mathcal{D}=\left( \overrightarrow{g_{1}},...,\overrightarrow{%
g_{n}}\right) $ o\`{u} $\overrightarrow{g_{i}}=\dfrac{\overrightarrow{f}_{i}%
}{\left\Vert \overrightarrow{f}_{i}\right\Vert }$ est alors orthonorm\'{e}e
et v\'{e}rifie aussi 
\begin{equation*}
\forall k\;\in \lbrack |1,n|]\;\;\text{Vect}\left( \overrightarrow{e_{1}}%
,...,\overrightarrow{e_{k}}\right) =\text{Vect}\left( \overrightarrow{g_{1}}%
,...,\overrightarrow{g_{k}}\right)
\end{equation*}

\bigskip

TH 2 (fort, admis) : si $\mathcal{B}=\left( \overrightarrow{e_{1}},...,%
\overrightarrow{e_{n}}\right) $ est une base de $E$ euclidien, il existe une 
\textit{unique} base $\mathcal{D}=\left( \overrightarrow{g_{1}},...,%
\overrightarrow{g_{n}}\right) $ ortho\textit{norm\'{e}e} telle que 
\begin{equation*}
\forall k\;\in \lbrack |1,n|]\;\;\text{Vect}\left( \overrightarrow{e_{1}}%
,...,\overrightarrow{e_{k}}\right) =\text{Vect}\left( \overrightarrow{g_{1}}%
,...,\overrightarrow{g_{k}}\right) \text{ et }\left( \overrightarrow{g}%
_{k}\;|\;\overrightarrow{e}_{k}\right) >0
\end{equation*}

\bigskip

DEF : La base $\left( \overrightarrow{g_{1}},...,\overrightarrow{g_{n}}%
\right) $ est appel\'{e}e \textit{la base orthonorm\'{e}e de Schmidt }associ%
\'{e}e \`{a} $\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}%
\right) .$

REMARQUE 5 : la base $\mathcal{D}$ du th\'{e}or\`{e}me 2 est celle de la
remarque 4 .

\bigskip

REMARQUE 6 : la condition Vect$\left( \overrightarrow{e_{1}},...,%
\overrightarrow{e_{k}}\right) =$Vect$\left( \overrightarrow{g_{1}},...,%
\overrightarrow{g_{k}}\right) $ et $\left( \overrightarrow{g}_{k}\;|\;%
\overrightarrow{e}_{k}\right) >0$ \'{e}quivaut \`{a} ce que la matrice de
passage de $\mathcal{B}$ \`{a} $\mathcal{C}$ soit triangulaire avec des
coefficients diagonaux \TEXTsymbol{>} 0.

REMARQUE 7 : $\overrightarrow{f_{k}}=\overrightarrow{e_{k}}-\overset{k-1}{%
\underset{i=1}{\sum }}\left( \overrightarrow{e_{k}}\;|\;\overrightarrow{g_{i}%
}\right) \overrightarrow{g_{i}}=p_{k}\left( \overrightarrow{e_{k}}\right) $ o%
\`{u} $p_{k}$ est la projection orthogonale sur $\left( Vect\left( 
\overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e}_{k-1}\right) \right) ^{\perp
}. $

EXEMPLE : E5

\bigskip

CORO 1 : tout espace euclidien poss\`{e}de une base orthonorm\'{e}e.

\bigskip

CORO 2 : th\'{e}or\`{e}me de la base orthonorm\'{e}e incompl\`{e}te : toute
famille orthonorm\'{e}e d'un espace euclidien peut \^{e}tre compl\'{e}t\'{e}%
e en une base orthonorm\'{e}e.

\bigskip D13

CORO 3 : si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ euclidien 
\begin{equation*}
E=F\oplus F^{\perp }\text{ (autrement dit, l'orthogonal d'un sev en est un
suppl\'{e}mentaire) et }F^{\perp \perp }=F\text{ }
\end{equation*}

De plus, si $E=F\oplus G$ 
\begin{equation*}
F\perp G\Leftrightarrow G=F^{\perp }\Leftrightarrow F=G^{\perp }
\end{equation*}

\bigskip D14

\bigskip Exemples : l'orthogonal d'une droite est un hyperplan, et r\'{e}%
ciproquement.

\bigskip

REM : \ une cons\'{e}quence du corollaire 1 est que si $\left(
.\;|\;.\right) $ est une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique sur $E$ de
dimension $n,$ $\left( .\;|\;.\right) $ est un produit scalaire ss'il existe
une base $\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{n}}\right) $
telle que $\left( \overrightarrow{e_{i}}\;|\;\overrightarrow{e_{j}}\right)
=\delta _{ij}.$

6) Projections et sym\'{e}tries orthogonales.

\bigskip

On se place dans un espace $E$ euclidien.

\bigskip

DEF : une $\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{projection} \\ 
\text{sym\'{e}trie}%
\end{array}
\right. $ de $E$ est dite \textit{orthogonale} lorsque sa base et sa
direction sont orthogonales.

Une sym\'{e}trie orthogonale dont la base est un hyperplan est appel\'{e}e
une \textit{r\'{e}flexion}.

REMARQUE : pour d\'{e}finir une projection ou une sym\'{e}trie orthogonale,
il suffit de donner sa base $($ou sa direction).

\bigskip Si donc $p$ est un projecteur de $E$ ; 
\begin{equation*}
p\text{ est une projection orthogonale}\Leftrightarrow \ker p\perp \func{Im}p
\end{equation*}

Si $s$ est une sym\'{e}trie de $E$ ; 
\begin{equation*}
s\text{ est une sym\'{e}trie orthogonale }\Leftrightarrow \ker \left(
s-id_{E}\right) \perp \ker \left( s+id_{E}\right)
\end{equation*}

\bigskip

CALCUL DU PROJET\'{E} si l'on conna\^{\i}t une base orthogonale de l'image
de la projection :

si $\left( \overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{q}}\right) $ est
une base orthogonale de $F=\func{Im}p$%
\begin{equation*}
p\left( \overrightarrow{x}\right) =\overset{q}{\underset{i=1}{\sum }}\dfrac{%
\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{e_{i}}\right) }{\left\| 
\overrightarrow{e_{i}}\right\| ^{2}}\overrightarrow{e_{i}}
\end{equation*}

D15

\bigskip REMARQUE : ceci permet alors de calculer $q\left( \overrightarrow{x}%
\right) =\overrightarrow{x}-p\left( \overrightarrow{x}\right) $ et $s(%
\overrightarrow{x})=2p\left( \overrightarrow{x}\right) -\overrightarrow{x}.$

APPLICATION : si $p$ est la projection orthogonale de direction Vect$\left( 
\overrightarrow{n}\right) $%
\begin{equation*}
p\left( \overrightarrow{x}\right) =\overrightarrow{x}-\dfrac{\left( 
\overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{n}\right) }{\left\| \overrightarrow{n}%
\right\| ^{2}}\overrightarrow{n}
\end{equation*}

D16

\bigskip

EXEMPLE : E6

\bigskip

PROP : \'{e}tant donn\'{e}s deux vecteurs distincts et de m\^{e}me norme $%
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ de $E$, il existe une unique r\'{e}%
flexion \'{e}changeant ces deux vecteurs ; c'est la r\'{e}flexion par
rapport \`{a} l'hyperplan $H=\left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}%
\right) ^{\perp }.$

D17 avec le lemme : $\left\Vert \overrightarrow{a}\right\Vert =\left\Vert 
\overrightarrow{b}\right\Vert \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{a}+%
\overrightarrow{b}\right) \perp \left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}%
\right) $

\bigskip

IV) AUTOMORPHISMES ORTHOGONAUX, MATRICES ORTHOGONALES

\bigskip

1) Automorphismes orthogonaux.

\bigskip

DEF : $E$ espace vectoriel euclidien ; un endomorphisme de $E$ est dit 
\textit{orthogonal} s'il conserve la norme : 
\begin{equation*}
f\in E^{E}\text{ est }\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{un endomorphisme orthogonal} \\ 
\text{(ou une isom\'{e}trie vectorielle)}%
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
1.\;f\text{ est lin\'{e}aire} \\ 
2.\text{ }\forall \overrightarrow{x}\in E\;\;\left\| f\left( \overrightarrow{%
x}\right) \right\| =\left\| \overrightarrow{x}\right\|%
\end{array}
\right.
\end{equation*}

\bigskip On note $O(E)$ l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de $E.$

EXEMPLES : $id_{E}$ et les sym\'{e}tries orthogonales ; on a en effet :

\bigskip

PROP : une sym\'{e}trie de $E$ est orthogonale ssi c'est un endomorphisme
orthogonal : 
\begin{eqnarray*}
\text{si }s\text{ est une sym\'{e}trie de base }F &=&\ker \left(
s-id_{E}\right) =\func{Im}\left( s+id_{E}\right) \text{ et de direction }%
G=\ker \left( s+id_{E}\right) =\func{Im}\left( s-id_{E}\right) \\
&&\fbox{$F\perp G$ $\Leftrightarrow \forall \overrightarrow{x}\in E$\ \ $%
\left\Vert s\left( \overrightarrow{x}\right) \right\Vert =\left\Vert 
\overrightarrow{x}\right\Vert $}\text{ }
\end{eqnarray*}

D18

\bigskip

\bigskip ATTENTION : les projections orthogonales (except\'{e} l'identit\'{e}%
) ne sont pas des endomorphismes orthogonaux !!!!

PROP : un endomorphisme orthogonal est injectif, donc bijectif, car on est
en dimension finie ; on parle donc toujours d'\textit{automorphisme}
orthogonal.

D19

\bigskip

PROP : une compos\'{e}e d'automorphismes orthogonaux est un automorphisme
orthogonal, ainsi que la r\'{e}ciproque d'un automorphisme orthogonal : $%
\left( O(E),\circ \right) $ est un sous-groupe de $\left( GL(E),\circ
\right) .$

D20

\bigskip

PROP : un automorphisme orthogonal conserve le produit scalaire : 
\begin{equation*}
\fbox{$\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in E\;\;\left( f\left( 
\overrightarrow{x}\right) \;|\;f\left( \overrightarrow{y}\right) \right)
=\left( \overrightarrow{x}\;|\;\overrightarrow{y}\right) $}
\end{equation*}

CORO : un automorphisme orthogonal conserve les angles non orient\'{e}s et
conserve l'orthogonalit\'{e}.

D21

\bigskip

ATTENTION : les homoth\'{e}ties de rapport $\neq \pm 1$ conservent aussi
l'orthogonalit\'{e}, sans \^{e}tre des automorphismes orthogonaux !

\bigskip

REM : on peut montrer que r\'{e}ciproquement une application conservant le
produit scalaire est forc\'{e}ment lin\'{e}aire, et est donc un
automorphisme orthogonal (exercice).

\bigskip

ATTENTION : par contre, la condition $\forall \overrightarrow{x}\in
E\;\;\left\Vert f\left( \overrightarrow{x}\right) \right\Vert =\left\Vert 
\overrightarrow{x}\right\Vert $ ne suffit pas pour faire de $f$ un
automorphisme orthogonal.

Contre-exemple : $f\left( \overrightarrow{x}\right) =\left\Vert 
\overrightarrow{x}\right\Vert \overrightarrow{u}$ o\`{u} $\overrightarrow{u}$
est un vecteur unitaire fix\'{e}.

\bigskip

CARACT\'{E}RISATION \`{A} PARTIR DES BASES ORTHONORM\'{E}ES

Soit $f\in L(E)$ ; on a les caract\'{e}risations : 
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
1.f\text{ est un automorphisme orthogonal} \\ 
\Leftrightarrow 2.\;\text{l'image de toute base orthonorm\'{e}e est une base
orthonorm\'{e}e} \\ 
\Leftrightarrow 3.\;\text{l'image d'une base orthonorm\'{e}e fix\'{e}e est
une base orthonorm\'{e}e}%
\end{array}%
\end{equation*}

D22

\bigskip

2) Matrices orthogonales.

\bigskip

TH : $f\in L(E),\;\mathcal{B}$ base orthonorm\'{e}e,$\;A=mat_{\mathcal{B}%
}(f) $ ; alors 
\begin{equation*}
f\text{ est un automorphisme orthogonal }\Leftrightarrow A\text{ est
inversible et }A^{-1}=\;^{t}A
\end{equation*}

D23

\bigskip

DEF : une matrice carr\'{e}e r\'{e}elle est dite \textit{orthogonale} si
c'est la matrice d'un automorphisme orthogonal dans une base orthonorm\'{e}e
; l'ensemble des matrice carr\'{e}es r\'{e}elles orthogonales d'ordre $n$
est not\'{e} $O_{n}\left( \mathbb{R}\right) .$

\bigskip

On a alors les diverses CNS pour qu'une matrice $A=[C_{1},...,C_{n}]=\left[ 
\begin{array}{c}
L_{1} \\ 
... \\ 
L_{n}%
\end{array}%
\right] \in M_{n}(\mathbb{R})$ soit une matrice orthogonale :

\begin{equation*}
\left. 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$1.\text{ }A\text{ est inversible et }A^{-1}=\;^{t}A$ \\ \hline
$2.\;^{t}AA=I_{n}$ \\ \hline
$3.\;^{t}C_{i}C_{j}\left( =\left( C_{i}\;|\;C_{j}\right) \right) =\delta
_{ij}$ \\ \hline
$4.\text{ Les colonnes de }A\text{ sont orthonorm\'{e}es}$ \\ \hline
$5.\; 
\begin{tabular}{l}
$A\text{ est la matrice de passage d'une base orthonorm\'{e}e}$ \\ 
$\text{\`{a} une base orthonorm\'{e}e.}$%
\end{tabular}
\text{ }$ \\ \hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\\ \hline
2bis$.\;A^{t}A=I_{n}$ \\ \hline
3bis$.\;L_{i}{}^{t}L_{j}\left( =\left( L_{i}\;|\;L_{j}\right) \right)
=\delta _{ij}$ \\ \hline
4bis$.\text{ Les lignes de }A\text{ sont orthonorm\'{e}es}$ \\ \hline
\begin{tabular}{l}
$.$ \\ 
.%
\end{tabular}
\\ \hline
\end{tabular}
\right.
\end{equation*}

D24

\bigskip

ATTENTION : pour qu'une matrice soit orthoGONALE, il faut que ses lignes (ou
colonnes) soient orthoNORM\'{E}ES.

\bigskip

PROP : $O_{n}\left( \mathbb{R}\right) $ est un sous-groupe de $GL_{n}\left( 
\mathbb{R}\right) ,$ isomorphe \`{a} $O\left( E\right) $ (avec $\dim E=n).$

D25

\bigskip

PROP : une matrice orthogonale est de d\'{e}terminant $\pm 1$ (il en est
donc de m\^{e}me pour les automorphismes orthogonaux).

D26

\bigskip

ATTENTION : une matrice de d\'{e}terminant $\pm $1 n'est pas forc\'{e}ment
orthogonale !

E7

\bigskip

3) Automorphismes orthogonaux, et matrices orthogonales, directs et
indirects.

Pour un automorphisme orthogonal, ou une matrice orthogonale :

DIRECT (ou positif) : de d\'{e}terminant $1$

INDIRECT (ou n\'{e}gatif) : de d\'{e}terminant $-1.$

\bigskip

Rappelons que : 
\begin{eqnarray*}
\text{direct}\circ \text{direct} &=&\text{direct} \\
\text{direct}\circ \text{indirect} &=&\text{indirect} \\
\text{indirect}\circ \text{direct} &=&\text{indirect} \\
\text{indirect}\circ \text{indirect} &=&\text{direct}
\end{eqnarray*}

L'inverse d'un automorphisme direct (resp. indirect) est direct (resp.
indirect).

\bigskip

De m\^{e}me pour les matrices, en rempla\c{c}ant $\circ $ par $\times .$

\bigskip

\bigskip $%
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
$%
\begin{array}{c}
\text{L'ensemble des automorphismes orthogonaux } \\ 
\text{directs est not\'{e} }O^{+}\left( E\right) \text{ ou }SO(E)%
\end{array}
$ & $%
\begin{array}{c}
\text{L'ensemble des matrices orthogonales } \\ 
\text{directes est not\'{e} }O_{n}^{+}\left( \mathbb{R}\right) \text{ ou }%
SO_{n}(\mathbb{R})%
\end{array}
$ \\ \hline
$%
\begin{array}{l}
\text{C'est un sous-groupe de }O\left( E\right) \\ 
\text{appel\'{e} groupe sp\'{e}cial orthogonal de }E%
\end{array}
$ & $%
\begin{array}{l}
\text{C'est un sous-groupe de }O_{n}\left( \mathbb{R}\right) \\ 
\text{appel\'{e} groupe sp\'{e}cial orthogonal d'ordre }n.%
\end{array}
$ \\ \hline
$%
\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
\text{L'ensemble des automorphismes orthogonaux } \\ 
\text{\textit{in}directs est not\'{e} }O^{-}\left( E\right) \text{ }%
\end{array}
\\ 
\text{Ce n'est pas un groupe !!!}%
\end{array}
$ & $%
\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
\text{L'ensemble des matrices orthogonales } \\ 
\text{\textit{in}directes est not\'{e} }O_{n}^{-}\left( \mathbb{R}\right) 
\text{ }%
\end{array}
\\ 
\text{Ce n'est pas un groupe !!!}%
\end{array}
$ \\ \hline
\end{tabular}
$

\bigskip EXEMPLES :

PROP : $id_{E}$ est directe ; $-id_{E}$ est directe en dimension paire,
indirecte en dimension impaire ; une sym\'{e}trie est directe ssi sa
direction est de dimension paire ; une r\'{e}flexion est indirecte.

D27

\bigskip

PROP : un endomorphisme est un automorphisme orthogonal direct ss'il
transforme une base orthonorm\'{e}e en une base orthonorm\'{e}e de m\^{e}me
orientation (et c'est alors ainsi pour toute base).

Un matrice carr\'{e}e est orthogonale directe ssi c'est la matrice de
passage d'une base orthonorm\'{e}e \`{a} une base orthonorm\'{e}e de m\^{e}%
me orientation.

\bigskip

4) Automorphismes orthogonaux du plan.

\bigskip $P$ plan vectoriel euclidien.

On verra qu'il n'y a que les rotations vectorielles et les r\'{e}flexions
vectorielles.

\bigskip

TH :

Les matrices d'ordre deux orthogonales positives sont les matrices de la
formes $\left[ 
\begin{array}{cc}
a & -b \\ 
b & a%
\end{array}
\right] $ avec $a^{2}+b^{2}=1.$

Les matrices d'ordre deux orthogonales n\'{e}gatives sont les matrices de la
formes $\left[ 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
b & -a%
\end{array}
\right] $ avec $a^{2}+b^{2}=1.$

\bigskip D28

\bigskip

Si l'on pose donc $R_{\theta }=\left[ 
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\ 
\sin \theta & \cos \theta%
\end{array}
\right] $ et $S_{\theta }=\left[ 
\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\ 
\sin \theta & -\cos \theta%
\end{array}
\right] ,$ 
\begin{equation*}
O_{2}^{+}\left( \mathbb{R}\right) =\{R_{\theta }\;/\;\theta \in \lbrack
0,2\pi \lbrack \},O_{2}^{-}\left( \mathbb{R}\right) =\{S_{\theta
}\;/\;\theta \in \lbrack 0,2\pi \lbrack \}
\end{equation*}

\bigskip

PROP : $R_{\theta }\times R_{\theta ^{\prime }}=R_{\theta +\theta ^{\prime
}}=R_{\theta ^{\prime }}\times R_{\theta }$ ; $S_{\theta }\times S_{\theta
^{\prime }}=R_{\theta -\theta ^{\prime }}.$

D29

\bigskip

CORO 1 : les groupes $O_{2}^{+}\left( \mathbb{R}\right) $ et $O^{+}\left(
P\right) $ sont commutatifs.

\bigskip

CORO 2 : si un automorphisme orthogonal direct du plan a une matrice $A$
dans une base orthonorm\'{e}e, il a la m\^{e}me matrice $A$ dans toutes les
bases orthonorm\'{e}es de m\^{e}me orientation.

D30

\bigskip

DEF : le plan $P$ est suppos\'{e} orient\'{e} ; par d\'{e}finition, la
rotation (vectorielle) d'angle $\theta ,$ not\'{e}e $r_{\theta },$ est
l'automorphisme orthogonal de matrice $R_{\theta }$ dans une base orthonorm%
\'{e}e directe.

\bigskip

REM : si l'on change l'orientation du plan, l'angle de la rotation est chang%
\'{e} en son oppos\'{e}.

\bigskip

PROP : $r_{\theta }\circ r_{\theta ^{\prime }}=r_{\theta +\theta ^{\prime
}}=r_{\theta ^{\prime }}\circ r_{\theta }$ ; $\left( r_{\theta }\right)
^{-1}=r_{-\theta }$ ; et les automorphismes orthogonaux directs du plans
sont exactement les rotations vectorielles.

D31

\bigskip

PROP : soit $s_{\varphi }$ l'automorphisme orthogonal de matrice $%
S_{2\varphi }$ dans la base orthonorm\'{e}e directe $\left( \overrightarrow{i%
},\overrightarrow{j}\right) $ ; $s_{\varphi }$ est la r\'{e}flexion par
rapport \`{a} la droite d'\'{e}quation $\cos \varphi \;y=\sin \varphi \;x.$

\bigskip D32

\bigskip

CORO : les automorphismes orthogonaux indirects du plan sont les r\'{e}%
flexions vectorielles.

\bigskip

PROP : $s_{\varphi _{2}}\circ s_{\varphi _{1}}=r_{2\left( \varphi
_{2}-\varphi _{1}\right) }$

\bigskip D33

\bigskip

CORO : toute rotation vectorielle se d\'{e}compose en produit de deux r\'{e}%
flexions vectorielles, l'une d'entre elles pouvant \^{e}tre choisie
arbitrairement.

\bigskip D 34

REMARQUE : si $\overrightarrow{u}$ a pour affixe $z,$ $r_{\theta }\left( 
\overrightarrow{u}\right) $ a pour affixe $e^{i\theta }z$ et $s_{\varphi
}\left( \overrightarrow{u}\right) $ a pour affixe $e^{2i\varphi }\overline{z}%
.$

\bigskip

\bigskip 5) Angle orient\'{e} de vecteurs, de droites.

$P$ plan vectoriel euclidien orient\'{e}.

Lemme 1 : si $\left\| \overrightarrow{u}\right\| =\left\| \overrightarrow{v}%
\right\| =1,$ il existe une unique rotation du plan transformant $%
\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}.$

\bigskip D35

DEF : si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non
nul, tout r\'{e}el $\theta $ tel que $r_{\theta }$ transforme $\dfrac{%
\overrightarrow{u}}{\left\| \overrightarrow{u}\right\| }$ en $\dfrac{%
\overrightarrow{v}}{\left\| \overrightarrow{v}\right\| }$ est une mesure de
l'angle orient\'{e} $\widehat{\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}%
\right) }.$

On \'{e}crit par abus : $\widehat{\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v%
}\right) }=\theta \;\;[2\pi ].$

\bigskip

REM : si on change l'orientation du plan, l'angle est chang\'{e} en son oppos%
\'{e}.

\bigskip

PROP 1 : on a la relation de Chasles : $\widehat{\left( \overrightarrow{u},%
\overrightarrow{v}\right) }+\widehat{\left( \overrightarrow{v},%
\overrightarrow{w}\right) }=\widehat{\left( \overrightarrow{u},%
\overrightarrow{w}\right) }\;\;\;[2\pi ].$

\bigskip

PROP 2 : si $f\in O\left( P\right) \;\;\widehat{\left( f\left( 
\overrightarrow{u}\right) ,f\left( \overrightarrow{v}\right) \right) }=\det
f.\widehat{\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) }\;\;[2\pi ].$

\bigskip

Lemme 2 : \'{e}tant donn\'{e} deux droites vectorielles $D_{1}$ et $D_{2},$
il existe exactement deux rotations $r_{\theta }$ et $r_{\theta +\pi }$ du
plan transformant $D_{1}$ en $D_{2}.$

\bigskip D36

\bigskip

DEF : tout r\'{e}el $\theta $ tel que $r_{\theta }$ transforme $D_{1}$ en $%
D_{2}$ est une mesure de l'angle orient\'{e} $\widehat{\left(
D_{1},D_{2}\right) }.$

On \'{e}crit par abus : $\widehat{\left( D_{1},D_{2}\right) }=\theta
\;\;[\pi ].$

\bigskip

PROP : on a la relation de Chasles : $\widehat{\left( D_{1},D_{2}\right) }+%
\widehat{\left( D_{2},D_{3}\right) }=\widehat{\left( D_{1},D_{3}\right) }%
\;\;\;[\pi ].$

Et avec ces notations : 
\begin{equation*}
\fbox{$s_{D_{2}}\circ s_{D_{1}}=r_{2\widehat{\left( D_{1},D_{2}\right) }}$}
\end{equation*}

\end{document}
